طريقة سهلة حل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية بمعاملات متغير
رياضيات البكالوريا
ملخص تحضير شرح المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية بمعاملات متغيرة
تعريف المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية
ما هي المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية
يسرنا بزيارتكم في موقع لمحة معرفة أعزائي الطلاب والطالبات أن نقدم لكم من كتاب الرياضيات شرح مفصل بطريقة سهلة كيفية حل المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية بمعاملات متغيرة
وهي على النحو التالي
المعادلات التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية بمعاملات متغيرة:
شكلها :
y"+a(x)y'+b(x)y=c(x) ........(E
٠معادلة خطية من الرتبة الثانية من الدرجة الاولى ، حيث a ،b ، c دوال مستمرة على مجال من IR
المعادلة E تقبل حلول من الشكل
G(x)=H(x)+P(x)
حيث H و P دالتين معرفتين على مجال من IR .
يمثل P حلا خاصا للمعادلة E ويمثل H حلا خاصا للمعادلة التالية و لتكن F:
y"+a(x)y'+b(x)y=0 ......(F
مجموعة حلول المعادلة F تشكل فضاء شعاعي ذو البعد "2" على IR و ليكن S :
S={ A U+ B V , A,B €IR }
حيث {U,V} تشكل اساس من الدوال للفضاء الشعاعي S
نقول ان {U,V} تشكل اساس ل S اذا و فقط اذا كان من اجل نقطة العبارة التالية غير معدومة ولتكن W :
W(x)= U(x)V'(x)-V(x)U'(x)≠0
ومنه الحل الخاص للمعادلة F يكتب من الشكل التالي:
H(x)=A U(x) + B V(x)
حيث A و B ثوابت من IR.
ملاحظة 1: كيفية ايجاد U و V
نفترض ليكن U معطى (او يبحث عنه ، بحيث يحقق المعادلة F ، لاتوجد طريقة معتمدة لتحديد احد الحلول مثلا ليكن U)
٠اعتمادا على الحل U ،حلا للمعادلة F يمكن ايجاد الحل الثاني V للمعادلة F يكتب بدلالة U.
نختصر على اعطاء العبارة فقط:
V=U intégrale[(1÷U²) exp(-int(a(x))]
حيث a دالة ، عامل في المعادلة E
ملاحظة 2:
عند اعطاء معادلة خطية من الرتبة الثانية لابد اولا كتابتها من الشكل المعادلة E حيث نحافظ على ان يكون معامل المشتق الاعلى وهو "y معامله 1 .(طبعا في هذه الحالة بمعنى على حسب هذه الدراسة لكي تتوافق مع أشكال الحلول المعطاة هنا).(هنا يمكن تحديد عبارات a،b،c )
٠ من السابق يمكن تحديد شكل الحل الخاص للمعادلة E ، بحيث نستخدم تغير الثابت في حلول المعادلة F الى متغير ومنه:
L(X) = A(X) U(x) + B(x) V(x)
حيث A و B في هذه الحالة دوال يطلب ايجادهما :
لايجاد الدالتين A و B يكفي حل النظام التالي:
A’U+B'V=0
A'U'+B'V'=C(x)
المجاهيل في النظام (Systeme de Gramer) هما الدالتين 'A و 'B .
يكفي ان نقول بعملية التكامل لايجاد A و B .
هذه احد الطرق لايجاد الحل الخاص للمعادلة E .
توجد طريقة اخر مثلا يمكن الاعتماد على تحديد شكل الحل الخاص انطلاقا من شكل الدالة C (الطرف الثاني للمعادلة E) ، و ايضا بالاعتماد على القيم الذاتية التي تستخرج عن طريق معادلة ، تستخرج بدورها من المعادلة F .