شرح منحنى الدالة نظرات في الفروع اللانهائية لمنحنى دالة بجوار المالانهاية والتقريب التآلفي
نظرات في الفروع اللانهائية لمنحنى دالة بجوار المالانهاية
كيفية حساب منحنى الدالة بطريقة سهلة رياضيات
أهلاً بكم زوارنا الكرام في موقعنا التعليمي لمحة معرفة يسرنا بزيارتكم أن نقدم لكم حل السؤال الذي يقول شرح نظرات في الفروع اللانهائية لمنحنى دالة بجوار المالانهاية
وهي كالتالي
نظرات في الفروع اللانهائية لمنحنى دالة بجوار المالانهاية
لقد تطرقنا في كثير من المواضيع إلى محاولة الرياضياتين لتبسيط الدوال وتقريبها مز دوال مألوفة ككثيرات الحدود ذلك أن كثيرات الحدود بسيطة الدراسة.
وطريقتهم الأولى في التقريب إستعمال النهايات والإشتقاق.
فالتقريب التآلفي ما هو إلا تقريب محلي للدالة بمماسها وهو مستقيم ذو معادلة خطية بسيطة :
y = f'(x0) (x - x0) + f(x0)
هذا المستقيم لا يمثل تقريبا فحسب بل هو تمثيل لإتجاه منحنى دالة قابلة للرسم عند نقطة.
وكما هو معروف إتجاه المستقيم يعرف بميل الزاوية التي يصنعها مع محور السينات فلذلك عندما نكتب
Delta1 : y = a x + b
Delta2 : y = a x + c
فالمستقيمان متوازيان ولهما نفس الإتجاه ويصنعان نفس الزاوية alpha بحيث
tan(alpha) = a
إذا كان الإشتقاق يعطي جوابا بسيطة لمشكلة تبسيط الدوال محليا عند نقطة ففي جوار المالانهاية الأمر مختلف.
فإذا أردنا أز نعرف سلوك منحنى الدالة في جوار المالانهاية بمحاولة مقارنته بمستقيم ذو معادلة
y = a x + b
يمكننا التأكد من ذلك بالنهايات عن طريق حساب الفرق :
lim f(x) - (a x + b) = 0
لكن المشكل أنه يجب ان نعرف مسبقا معادلة هذا المستقيم وهذا الأمر قد يكون سهلا في دوال ذات صيغة واضحة كالدالة
f(x) = 1/x + 3 x - 2
فنلاحظ هنا أن المستقيم هو
3 x - 2
لكنه عموما غير واضح من أجل اي دالة.
نلاحظ من النهاية السابقة أنه للحصول على الميل a يكفي حساب النهاية بجوار المالانهاية
Lim f(x)/x = lim ( a x + b)/x = a
وللحصول على b
Lim f(x) - ax = b
فكاننا نحسب ميل منحنى الدالة بجوار المالانهاية للحصول على a ثم نتأكد من إقتراب الدالة من مستقيم بحساب
lim f(x) - ax = b
فهذه الطريقة تعطينا دراسة أولية لسلوك منحنى الدالة.
وقد نلاحظ هنا أن مبرهنة التزايدات المنتهية المعممة عن طريق قاعدة لوبيتال تعطينا طريقة لمعرفة العدد a في حالات خاصة ذلك أنه إذا وجد نهاية المشتقة في جوار المالانهاية فإن
Lim f(x)/x = lim f'(x)
لكن ماذا يحدث عندما نتحصل على مالانهاية عند حساب نهاية
lim f(x)/x
هذا يعني أن الميل a يساوي المالانهاية أي أن
tan(alpha) = infini
أي أن
alpha = pi/2
أو
alpha = -pi/2
وهذه زاوية مستقيم مواز لمحور العينات أو التراتيب أي أن منحنى الدالة في جوار المالانهاية يتجه لصنع زاوية قائمة مع محور السينات أي يتجه في إتجاه محور التراتيب.
وماذا يحدث لو وجدنا أن
Lim f(x)/x = a
لكن
Lim f(x) - a x = infini
هذا يعنى أن الدالة لها نفس ميل المستقيم
y = a x
بجوار المالانهاية لكنها لا تقترب منه لذلك نقول أن المنحنى يتجه باتجاه
a x
ولا نقول أنه يقترب منه.
يمكننا تعميم هذه الدراسة إلى مقارنة الدالة بكثيرات الحدود فنلاحظ مثلا أن
f(x) = 1/x + 3 x^2 -2 x + 5
منحناها يقترب في جوار المالانهاية من دالة كثير الحدود
3 x^2 -2 x + 5
لأن
Lim f(x) - ( 3x^2 -2x + 5) = lim 1/x = 0
ونلاحظ هنا أنه لإيجاد كثير الحدود
3x^2 -2x + 5
يجب أن نبدأ بحساب النهاية
Lim f(x)/x^2 = 3
ثم
Lim (f(x) - 3 x^2)/x = - 2
ثم
Lim f(x) - ( 3x^2 - 2x) = 5
لكن كيف نعرف درجة كثير الحدود التي يجب أن نستعملها ؟
الجواب هو إستعمال اللوغارتم إذ نلاحظ أن
Lim (f(x)/x^n) = a =>
Lim ln |f(x)/x^n| = ln |a| =>
Lim ln(|f(x)|) - n ln|x| = ln |a| =>
Lim ln(|f(x)|)/ln(|x|) = n
بعكس الحسابات يمكننا إستنتاج n ثم a و
بتكرار هذه الخوارزمية على
f(x) - a x^n
ثم على ما يليها عدة مرات يمكننا حساب كثير الحدود المطلوب.
يمكننا رؤية كثير الحدود هذا كنشر للدالة بجوار المالانهاية.