حل أسئلة تدرب وحل المسائل
حل المعادلات التي تحتوي متغيراً في طرفيها
تدرب وحل المسائل
حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:
٨) حل المعادلة. ٧جـ + ١٢ = -٤جـ + ٧٨
الإجابة هي
٧جـ + ١٢ = -٤جـ + ٧٨ المعادلة الأصلية
٧جـ + ٤جـ + ١٢ = -٤جـ + ٤جـ + ٧٨ أضف ٤جـ إلى كلا الطرفين
١١جـ + ١٢ - ١٢ = ٧٨ - ١٢ اطرح ١٢ من كلا الطرفين
١١جـ = ٦٦
جـ = ٦
التحقق:
٧ × ٦ + ١٢ = -٤ × ٦ + ٧٨
٥٤ = ٥٤
٩)حل المعادلة. ٢م - ١٣ = -٨م + ٢٧
الإجابة هي
٢م - ١٣ = -٨م + ٢٧ المعادلة الأصلية
٢م + ٨م - ١٣ = -٨م + ٨م + ٢٧ أضف ٨م إلى كلا الطرفين
١٠م - ١٣ + ١٣ = ٢٧ + ١٣ أضف ١٣ إلى كلا الطرفين
١٠م = ٤٠ اقسم كلا الطرفين على ١٠
م = ٤
التحقق:
٢× ٤ - ١٣ = -٨ × ٤ + ٢٧
-٥ = -٥
ب - ٤ = ٣ب
ب - ب - ٤ = ٣ب - ب اطرح ب من كلا الطرفين
-٤ = ٢ب اقسم كلا الطرفين على ٢
ب = -٢
التحقق:
-١ = -١
١١) حل المعادلة. ٦(ن + ٥) = ٦٦
الإجابة هي
٦(ن + ٥) = ٦٦ المعادلة الأصلية
٦ن + ٣٠ = ٦٦ خاصية التوزيع
٦ن + ٣٠ - ٣٠ = ٦٦ - ٣٠ اطرح ٣٠ من كلا الطرفين
٦ن = ٣٦ اقسم كلا الطرفي عل ٦
ن = ٦
التحقق:
٦(٦ + ٥) = ٦ × ١١ = ٦٦
١٢) ٣(٣م - ٢) = ٢(٣م + ٣)
٣(٣م - ٢) = ٢(٣م + ٣) المعادلة الأصلية
٩م - ٦ = ٦م + ٦ خاصية التوزيع
٩م - ٦م - ٦ = ٦م - ٦م + ٦ اطرح ٦م من كلا الطرفين
٣م - ٦ + ٦ = ٦ + ٦ أضف ٦ إلى كلا الطرفين
٣م = ١٢ اقسم كلا الطرفين على ٣
م = ٤
التحقق:
٣(٣ × ٤ - ٢) = ٢(٣ × ٤ + ٣)
٣٠ = ٣٠
١٣) ١٢ - 4/5(س + ١٥) = ٤
الإجابة هي
١٢ - 4/5 (س + ١٥) = ٤
١٢ - ١٢ - 4/5 (س + ١٥) = ٤ - ١٢
- 4/5 ) (س + ١٥) = - 4/5(-٨)
س + ١٥ = ١٠
س + ١٥ - ١٥ = ١٠ - ١٥
س = -٥
١٤) هندسة: أوجد قيمة س التي تجعل لكل من المستطيلين المجاورين المساحة نفسها.
مستطيلين
١٦(س - ٢) = ١٢س أوجد قيمة س التي تجعل لكل من المستطيلين المجاورين المساحة نفسها
الإجابة هي
١٦س - ٣٢ = ١٢س خاصية التوزيع
١٦س - ١٢س - ٣٢ = ١٢س - ١٢س اطرح ١٢س من كلا الطرفين
٤س - ٣٢ + ٣٢ = ٠ + ٣٢ أضف ٣٢ إلى كلا الطرفين
٤س = ٣٢ اقسم كلا الطرفين على ٤
س = ٨
١٥) نظرية الأعداد: عددان زوجيان متتاليان، يقل أربعة أمثال أصغرهما عن مثلي أكبرهما بمقدار ١٢. فما العددان؟
الإجابة هي
افرض العددان س، س + ٢
٢(س + ٢) - ٤س = ١٢
٢س + ٤ - ٤س = ١٢
-٢س + ٤ - ٤ = ١٢ - ٤
-٢س = ٨
س = -٤
العددان هما - ٤، - ٢
١٦) نظرية الأعداد: ثلاثة أعداد صحيحة فردية متتالية يزيد مثلاً أصغرها على ثلاثة أمثال أكبرها بمقدار ١٥. فما هذه الأعداد؟
الحل هو
افرض الأعداد س، س + ٢، س + ٤
٢س - ٣(س + ٤) = ١٥
٢س - ٣س - ١٢ = ١٥
-س - ١٢ + ١٢ = ١٥ + ١٢
-س = ٢٧
س = -٢٧
الأعداد هي - ٢٧، - ٢٥، - ٢٣
حل كلاً من المعادلات الآتية، وتحقق من صحة الحل:
١٧) حل المعادلة. التالية وتحقق من صحة الحل ٢س = ٢(س - ٣)
الحل هو
٢س = ٢(س - ٣)
٢س = ٢س -٦
ليس لها حل
١٨) حل المعادلة. التالية وتحقق من صحة الحل 2/5 هـ - ٧ = 12/5هـ - ٢هـ + ٣
الإجابة هي
2/5 هـ - ٧ =12/5هـ - ٢هـ + ٣
٥( 2/5هـ) - ٥(٧) = ٥(12/5هـ) - ٥(١٢) + ٥(٣)
١٢ - ٣٥ = ١٢ + ١٥
ليس لها حل
١٩) ٢(٤ر + ٦) =2/3 (١٢ر + ١٨)
الإجابة هي
٢(٤ر + ٦) = 2/3 (١٢ر + ١٨)
٨ر + ١٢ = ٨ ر + ١٢
بما أن طرفي المعادلة متطابقين إذاً الحل جميع الأعداد الحقيقية.
٢٢)حل المعادلة. التالية وتحقق من صحة الحل ٣,٢ك - ٤,٣ = ١٢,٦ك + ١٤,٥
الإجابة هي
٣,٢ك - ٤,٣ = ١٢,٦ك + ١٤,٥
٣,٢ك × ١٠ - ٤,٣ × ١٠ = × ١٠ ١٢,٦ك + ١٤,٥ × ١٠
٣٢ك - ٤٣ = ١٢٦ك + ١٤٥
٣٢ك - ١٢٦ك = ١٤٥ + ٤٣
- ٩٤ك = ١٨٨
ك = - ٢
التحقق:
٣,٢(-٢) - ٤,٣ = ١٢,٦(-٢) + ١٤,٥
٢٣) عصائر: ينفق محل للعصائر ٢٠٠ ريال يومياً نفقات ثابتة بالإضافة إلى ٢,٥ ريال تكلفة كوب العصير. فإذا بيع الكوب الواحد بمبلغ ٥ريالات، فكم كوباً يجب أن يبيع المحل يومياً ليبدأ بتحقيق الربح؟
الحل هو
٥س = ٢,٥س + ٢٠٠
٢,٥س = ٢٠٠
س = ٨٠
يجب أن يبيع المحل أكثر من ٨٠ كوب.
٢٤) تمثيلات متعددة: ستكتشف في هذه المسألة حلاً للمعادلة: ٢س + ٤ = - س - ٢.
أ) بيانياً: أنشئ جدولاً يحتوي على خمس نقاط لكل من المعادلتين:ص = ٢س + ٤، ص = - س - ٢،
الإجابة هي
ص = ٢س + ٤، ص = - س - ٢، وعين هذه النقاط في المستوى الإحداثي.
ص = ٢س + ٤
س -٢ -١ ٠ ١ ٢
ص ٠ ٢ ٤ ٦ ٨
ص = - س - ٢
س -٢ -١ ٠ ١ ٢
ص ٠ -١ -٢ -٣ -٤
التمثيل البياني
ب) جبرياً: حل المعادلة: ٢س + ٤ = - س - ٢,
الإجابة هي
٢س + ٤ = - س - ٢
٢س + س = -٢ - ٤
٣س = -٦
س = -٢
جـ) لفظياً: وضح العلاقة بين الحل الذي توصلت إليه في الفقرة (ب)، مع نقطة التقاطع للتمثيليين البيانيين في الفقرة (أ).
الإجابة هي
حل المعادلة جبرياً هو نفسه نقطة التقاطع في الرسم البياني للإحداثي السيني