Question

مقالات خاصة بفلسفة الرياضيات بكالوريا 2022 مقالة فلسفية حول اليقين الرياضي؟(مطلقة أم نسبية)  أقوال الفلاسفة 

مقالة باك 2022 شعبة علوم رياضيات 

مواضيع حول اليقين الرياضي؟(مطلقة أم نسبية)

بحث حول اليقين الرياضي

أقوال الفلاسفة حول اليقين الرياضي

ملاحظة؛ هذه المقالات منقولة و هي خاصة بفلسفة الرياضيات 

مقالات فلسفية بك جاهزة بكالوريا 

مرحباً اعزائي طلاب وطالبات البكالوريا 2022 في موقعنا لمحة معرفة منبع المعلومات والاجابات الصحيحة يسرنا بزيارتكم أن ان نقدم لكم جميع الحلول والاجابات الفلسفة والمقالات المقترحة لهذا العام لكل التخصصات الفلسفة بكالوريا شعبة آداب و فلسفة و لغات اجنبية ورياضيات باك 2022 - 2023 لكل الشعب الجزائري احسن المقالات الفلسفية لجميع المواضيع.. بمنهجية التحليل الأدبي والعلمي للنصوص في الفلسفة كما نقدم لكم الأن..... مقالات خاصة بفلسفة الرياضيات بكالوريا 2022 مقالة فلسفية حول اليقين الرياضي؟(مطلقة أم نسبية) أقوال الفلاسفة

. الاجابة هي كالتالي

الموضوع:هل تعدد المسلمات يسيء إلى اليقين الرياضي؟(مطلقة أم نسبية)

مقدمة (طرح المشكلة

ـ من المعلوم أن كل علم يتميز عن غيره بموضوعه و منهجه، و نحن عندما نستعرض علم الرياضيات علم المفاهيم العقلية المجردة القابلة للقياس، فإننا نجده يمثل أرقى العلوم التجريدية التي وصل إليها عقل الإنسان،لقد كانت الرياضيات الكلاسيكية تمثل نموذج اليقين المطلق، لكن ظهور الهندسة الحديثة قلب الموازين و أثار الشك عند الرياضيين ودفع بهم إلى التساؤل:هل تعدد الأنساق يسيء إلى اليقين الرياضي؟أم أنه يدل على خصوبة النتائج؟

محاولة حل المشكلة:

الموقف الأول:

ـ يرى الاتجاه التقليدي (الرياضيات الكلاسيكية)أن تعدد المسلمات يسيء إلى اليقين الرياضي،حيث هذا التعدد يخالف البداهة و قواعد العقل و يؤدي إلى التناقض و يجعل منها مجرد فلسفة يقودها الشك،فحتى الناظر في تعدد الهندسات يجده أشبه بتعدد الفلسفات فهو يقضي عل اليقين الرياضي يقول راسل "إن الرياضيات بهذه الصورة أصبحت علما لا يعرف عما يبحث و هل ما يبحث فيه صحيح"و ينطلق الإقليديون من تمييز إقليدس بين مبادئ البرهان الرياضي،و هي المبادئ التي وضعها إقليدس و بنى عليها نسقا رياضيا متكاملا ومنهجا اعتمدته الرياضيات حتى النصف الأول من القرن التاسع عشر،حيث جعل الرياضيات الإقليدية تحض بإجماع عام حول قضاياها و مطلقة و شاملة و مسلماتها ضرورية وهذه المبادئ تتمثل في البديهية التي اعتبرها مطلقة الصدق،و المسلمة التي يفترضها العقل ليبرهن بها فإقليدس يسلم بالمصادرة القائلة أنه من نقطة خارج مستقيم لا يمكن رسم سوى مواز واحد لهو المكان المحسوس ذو ثلاث أبعاد،و مجموع زوايا المثلث 180°.

نقد ـ لقد هيمنت الرياضيات على الفكر الرياضي لأمد طويل ،فأعاقت تطور الرياضيات بنوع من التسلط الفكري،لكن الرياضيات الإقليدية مطلقة و تصوره للمكان مستمد من الواقع المحسوس و هذا ما دفع آنشتاين لاعتبار هندسة إقليدس تجريبية للانسجام بين حقائقها و الواقع.

الموقف الثاني: ـ يرى الاتجاه المعاصر أن تعدد المسلمات مفيد للرياضيات لأنه يفتح أمامها مجالات واسعة في مختلف العلوم كالفيزياء و علم الفلك و الإعلام الآلي باعتبارها نموذج لليقين و المعقولية،ومع التطور الذي حصل بدأ الرياضيون والمناطقة يتساءلون حول البديهيات و المسلمات، مما أدى إلى ظهور هندسات جديدة على يد كل من ريمان و لوباتشفسكي.

   ـ فمن نقطة خارج مستقيم لا يمر أي مواز و المكان كروي عند ريمان و مجموع زوايا المثلث أكثر من 180°، أما الرياضي لوباتشوفسكي فيرى ان المكان مقعرو من نقطة خارج مستقيم يمكن رسم أكثر من مواز له ,و مجموع زوايا المثلث أقل من 180°.

  ـ و يرى بورال أن الرياضيات لم تفقد معيار صدقها ،وأن الرياضي يعرف ما يقول لأنه هو الذي يضع أسسه التي ينطلق منها،فمثلما وضع المسلمات الإقليدية بتناسق منطقي وضع المسلمات اللاإقليدية بنفس التناسق،يقولبلانشي : "إن النظريات المتناقضة تستطيع أن تكون صادقة في آن واحد"و تصبح الرياضيات علما افتراضيا استنتاجينا ليس له قانون سوى سلامة النسق و هذا ما يظهر في المنهج الأكسيوميالمبني على القضايا الافتراضية ،و بالتالي فظهور المسلمات اللاإقليدية لم يغير من طبيعة الرياضيات و لا يقينها(يقين مطلق إلى يقين نسبي).

نقد:الهندسة الحديثة ليست حقيقة مطلقةوتعدد المسلمات لابد أن يتم بشروط عقلية منطقية وواقعية صارمة وإلا تحولت الرياضيات إلى جدل لا نهاية له.

التركيب: ـ الرياضيات ليست يقينية يقينا مطلقا، كما كان يعتقد في الماضي و إنما يقينها مرتبط بسلامة النسق و عدم تناقض البنيان مع الأساس،و تطور الرياضيات لم يغير من طبيعتها في شيء و لكن صحح نظرة الإنسان إليها.

ـ فلكل فضاء هندسته الخاصة و لكل علم مسلماته الضرورية،و يكون كل نسق صحيح حسب الصلاحية المنطقية التي يتوفر عليها فالتصور المعاصر للرياضيات ينطلق من منهج فرضي يعتمد على الانطلاق من فرضية معينة يختارها العالم ليبني عليها نسقه الرياضي بشرط ألا تكون مناقضة للمنطلقات التي اعتمدها.

خاتمة(حل المشكلة) إن الطابع الشكلي و المنطقي هو الذي يسود في الرياضيات الحديثة فلم تعد الرياضيات ذلك العلم المطلق بل أصبحت نتائجها نسبية مبنية على عقلانية جديدة ترفض البداهة الإقليدية وهكذا نشأ النسق الأكسيوماتي لا يتعارض مع تعدد الهندسات الذي لم يصيح يسيء إلى اليقين الرياضي بل ما انفك يعززه.

ــ هل الحقائق الرياضية مطلقة أم نسبية ؟؟( نفس المقالة السابقة )

ــ هل معيار الحقيقة في الرياضيات يكمن في البداهة والوضوح أم في أتساق النتائج مع المقدمات؟

طرح المشكلة: توصف المعرفة الرياضية بالصناعة الصحيحة واليقينية في منطلقاتها ونتائجها، لكن التساؤل عن معيار اليقين في

الرياضيات كشف انه ليس معيارا واحدا في الرياضيات الإقليدية والرياضيات المعاصرة، ذلك أن الرياضيات الإقليدية تعتقد

جازمة ببداهة ووضوح مبادئها وترى فيها النموذج الوحيد في الصدق المطلق، أما الرياضيي المعاصر فلا تهمه المبادئ

ذاتها لأنها تشكل مقدمات في النسق الرياضي ، بقدر ما يهمه النسق الرياضي في مجمله أي أن عدم تناقض المقدمات مع

النتائج هو معيار اليقين في الرياضيات. وفي ذلك نطرح السؤال التالي:

هل معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها أم يتمثل في اتساق نتائجها مع مقدماتها؟

محاولة حل المشكلة:

الأطروحة الاولى : معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في بداهة ووضوح مبادئها أسست الرياضيات الكلاسيكية تاريخيا

قبل عصر النهضة بقرون عديدة قبل الميلاد على يد فيلسوف ورياضي يوناني مشهور اسمه إقليدس

(306ق.م/253ق.م)، إذ سيطرت رياضياته الكلاسيكية على العقل البشري إلى غاية القرن التاسع عشر الميلادي، حتى

ضن العلماء أنها الرياضيات الوحيدة التي تمتاز نتائجها بالصحة والمطلقية.

اعتمدت الرياضيات الكلاسيكية على مجموعة من المبادئ أو المنطلقات التي لا يمكن للرياضيي التراجع في البرهنة عليها

إلى ما لا نهاية، فهي قضايا أولية وبديهية لا يمكن استخلاصها من غيرها،وهي مبادئ لا تحتاج إلى برهان على صحتها

لأنها واضحة بذاتها من جهة و لأنها ضرورية لقيام المعرفة الرياضية من جهة أخرى، يستخدمها الرياضي في حل كل

تابع قراءة المقالات في اسفل الصفحة على مربع الاجابة 

Answer 1

خاص بشعبة الرياضيات

قضاياه الرياضية المختلفة، فما هي هذه الميادئ؟

التعريفات الرياضية

هي أولى القضايا التي يلجأ إليها الرياضي من اجل بناء معنى رياضي وإعطائه تمييزا يختلف عن غيره من المعاني

الرياضية الأخرى، ومن أهم التعريفات الإقليدية الرياضية، نجد تعريف المثلث بأنه شكل هندسي له ثلاثة أضلاع متقاطعة

مثنى مثنى مجموع زواياه تساوى 180درجة. والنقطة هي شكل هندسي ليس لها أبعاد، أو هي حاصل التقاء خطين.

والخط المستقيم هو امتداد بدون عرض.

les axiomesالبديهياتهي قضايا واضحة بذاتها،صحيحة وصادقة بذاتها لا تحتاج إلى دليل على صحتها برأي الكلاسيكيين، أي لا يمكن للعقل

إثباتها أي تفرض نفسها على العقل بوضوحها لأنها تستند إلى تماسك مبادئ العقل مع ذاته، فهي قضايا قبلية نشأت في

العقل قبل التجربة الحسية، فهي قضايا حدسية يدركها العقل مباشرة دون برهان أو استدلال، كما أنها قضايا تحليلية

موضوعها لا يضيف علما جديدا إلى محمولها، ومنها بديهيات إقليدس التي تقول:

إن الكل اكبر من الجزء والجزء اصغر من الكل.

الكميتان المساويتان لكمية ثالثة متساويتان.

وبين نقطتين لا يمكن رسم إلا مستقيما واحدا.

وإذا أضيفت كميات متساوية إلى أخرى متساوية تكون النتائج متساوية.

les postulatsالمصادرات

تسمى أحيانا بالأوليات وأحيانا بالموضوعات .وأحيانا بالمسلمات لان الرياضي هو الذي يضعها فهي إذن قضايا لا نستطيع

البرهنة على صحتها وليست واضحة بذاتها، أي فيها تسليم بالعجز، ولذلك نلجأ إلى التسليم بصحتها. ومن مصادرات

إقليدس نجد:مثلا من نقطة خارج مستقيم لا نستطيع رسم إلا مستقيما واحدا مواز للمستقيم الأول.

المستقيمان المتوازيان مهما امتدا لا يلتقيان.

المكان سطح مستوي درجة انحنائه يساوي صفر وله ثلاثة إبعاد هي الطول والعرض والارتفاع.

مجموع زوايا المثلث تساوى قائمتين.

وتسمى هذه المبادئ في مجموعها بالمبادئ الرياضية الكلاسيكية أو بمبادئ النسق الاكسيوماتيكى نسبة إلى كلمة أكسيوم

والتي تعنى في العربية البديهية. وهو نسق قائم على التمييز بين هذه المبادئ الثلاثة.

نقد: إن الهندسة الكلاسيكية التي كانت حتى القرن 19مأخوذة كحقيقة رياضية مطلقة، أصبحت تظهر كحالة خاصة من

حالات الهندسة وما كان ثابتا ومطلقا أصبح متغيرا ونسبيا،وفي هذا المعنى يقول بوليغان(( bouligandإن كثرة الأنظمة

في الهندسة لدليل على إن الرياضيات ليس فيها حقائق مطلقة.)). فماهي هذه الأنظمة التي نزعت من الرياضيات

الكلاسيكية صفة اليقين المطلق؟

الأطروحة الثانية: معيار اليقين في الرياضيات يتمثل في اتساق النتائج مع المقدمات :قد حاول الرياضيون في مختلف

العصور أن يناقشوا مبادئ الهندسة الإقليدية، ولم يتمكنوا منها إلا في العصر الحديث، وهي أطروحة ترى أن معيار

الصدق في الرياضيات لا يتمثل في وضوح المبادئ و بداهتها ولكن يتمثل في مدى انسجام وتسلسل منطقي بين

الافتراضات أو المنطلقات وبين النتائج المترتبة عنها، وهي أطروحة حديثة تتعرض بالنقد والتشكيك في مبادئ ونتائج

الرياضيات الكلاسيكية. أطروحة مثلها الفرنسي روبير بلا نشي والروسي لوبا تشيفسكيو الألماني ريمان. فما هي هذه

الانتقادات والشكوك؟

انتقد الفرنسي روبير بلا نشى في كتابه(الأكسيوماتيكا) المبادئ الثلاثة للرياضيات الكلاسيكية:

•التعريفات الإقليدية ووصفها بأنها تعريفات لغوية لا علاقة لها بالحقيقة الرياضية فهي تعريفات نجدها في المعاجم

اللغوية فهي بذلك لاتهم إلا اللغة.

•هي تعريفات وصفية حسية تصف المكان الهندسي كما هو موجود حسيا في ارض الواقع وهى بذلك تعريفات تشبه إلى

حد بعيد التعريفات في العلوم الطبيعية.

•هي تعريفات لا نستطيع الحكم عليها بأنها صحيحة أو خاطئة فإذا اعتبرناها نظرية وجب البرهنة عليها، وإذا لم نقدر

على ذلك وجب اعتبارها مصادرة، وهذا معناه أن التعريفات الإقليدية في حقيقتها عبارة عن مصادرات.

•انتقد بلا نشى أيضا بديهية إقليدس (الكل اكبر من الجزء) معتبرا أنها بديهية خاطئة وليست صحيحة، إذ ثبت أنها

صحيحة فقط في المجموعات المنتهية.

•انتقد بلا نشى البديهية أيضا معتبرا أنها صحيحة وصادقة ولا تحتاج إلى برهان في المنطق القديم لكن في الرياضيات

المعاصرة البديهيات قضايا يجب البرهنة على صحتها وإذا لم نتمكن من ذلك وجب اعتبارها مسلمة أي مصادرة.

•أما المصادرات فباعتبارها مسلمات أو موضوعات لا نستطيع البرهنة عليها ففيها تسليم بالعجز، من هنا يعتبر بلانشى

إن أنسب مبدأ للرياضيات هو مبدأ المصادرات أي المسلمات أو الفرضيات.

•من هنا فأن هندسة إقليدس لم تعد توصف بالكمال المطلق، ولا تمثل اليقين الفكري الذي لا يمكن نقضه، لقد أصبحت

واحدة من عدد غير محدود من الهندسات الممكنة التي لكل منها مسلماتها الخاصة بها.

•من هذا المنطلق ظهرت في القرن التاسع عشر أفكارا رياضية هندسية جديدة تختلف عن رياضيات إقليدس وسميت

بنظرية النسق الاكسيوماتيكى أو بالهندساتاللاإقليدية ، وتجلى ذلك بوضوح من خلال أعمال العالمين الرياضيين لوبا

تشيفسكي الروسي وريمان الألماني.

في سنة 1830م شكك العالم الرياضي الروسي لوباتشيفسكى(Lobatchevski(1793-1857م في مصادرات إقليدس

السابق ذكرها وتمكن من الاهتداء إلى الأساس الذي بنيت عليه، وهو المكان الحسي المستوى، وهكذا تصور مكانا أخر

يختلف عنه وهو المكان المقعر أي الكرة من الداخل، وفى هذه الحالة تمكن من الحصول على هندسة تختلف عن هندسة

إقليدس، أي من خلال هذا المكان أعلن لوباتشيفسكى انه بإمكاننا أن نرسم متوازيات كثيرة من نقطة خارج مستقيم،

والمثلث تصير مجموع زواياه اقل من 180درجة.

وفي سنة 1854م شكك ا الألماني ريمان 1866-1826م Riemannهو الأخر في مصادرات إقليدس وتمكن من نقضها

على أساس أخر، فتصور المكان محدودبا أي الكرة من الخارج واستنتج بناءا على ذلك هندسة جديدة ترى انه لا يمكن

رسم أي مواز من نقطة خارج مستقيم، وكل مستقيم منتهى لأنه دائري وجميع المستقيمات تتقاطع في نقطتين فقط

والمثلث مجموع زواياه أكثر من 180درجة.

النقد: إذا كانت الرياضيات المعاصرة قد أسقطت فكرة البداهة والوضوح والكمال واليقين والمطلقية في الرياضيات

الكلاسيكية، وإذا كان الرياضي المعاصر حر في اختيار مقدمات برهانه فهذا لا يعني أن يتعسف في اختياره ووضعها بل

Answer 2

هل أصل المفاهيم الرياضية تعود إلى العقل أم إلى التجربة؟

طرح المشكل:

منذ أن كتب أفلاطون على باب أكاديميته من لم يكن رياضيا لا يطرق بابنا. والرياضيات تحتل المكانة الأولى بين مختلف العلوم وقد ظهرت الرياضيات كعلممنذ القدم لدى اليونانيين.وهي تهتم بدراسة المقادير الكمية القابلة للقياس ويكون الكم المتصل في الهندسة والمنفصل في الجبر. فإذا كان لكل شيء أصل .ولكل علم مصدر فما أصلالرياضيات وما مصدر مفاهيمها ؟هل ترتد كلها إلى العقل الصرف الخالص, أمإلى مدركاتنا الحسية والى ما ينطبع في أذهاننا من صور استخلصناها منالعالم الخارجي ؟ وبعبارة أخرى هل الرياضيات مستخلصة في أصلها البعيد منالعقل أم من التجربة؟

عرض الأطروحة الأولى : أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى العقل

يرى العقليون أن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى المبادئ الفطرية التي ولدالإنسان مزودا بها وهي سابقة عن التجربة لان العقل بطبيعته ,يتوفر علىمبادئ وأفكار فطرية .وكل ما يصدر عن هذا العقل من أحكام وقضايا ومفاهيم ,تعتبر كلية وضرورية ومطلقة وتتميز بالبداهة والوضوح والثبات ومن ابرزدعاة هذا الرأي نجد اليوناني أفلاطون الذي يرى أن المفاهيم الرياضية كالخطالمستقيم والدائرة .واللانهائي والأكبر والأصغر ......هي مفاهيم أوليةنابعة من العقل وموجودة فيه قبليا لان العقل بحسبه كان يحيا في عالم المثلوكان على علم بسائر الحقائق .ومنها المعطيات الرياضية التي هي أزليةوثابتة , لكنه لما فارق هذا العالم نسي أفكاره ,وكان عليه أن يتذكرها .وانيدركها بالذهن وحده . ويرى الفيلسوف الفرنسي ديكارت أن المعاني الرياضيةمن أشكال وأعداد هي أفكار فطرية أودعها الله فينا منذ البداية وما يلقيهالله فينا من أفكار لا يعتريه الخطأ ولما كان العقل هو اعدل قسمة بينالناس فإنهم يشتركون جميعا في العمليات العقلية حيث يقيمون عليهاستنتاجاتهم ويرى الفيلسوف الألماني "كانط" إن الزمان والمكان مفهومانمجردان وليس مشتقين من الإحساسات أو مستمدين من التجربة ,بل هما الدعامةالأولى لكل معرفة حسية

نقد الأطروحة الأولى :لا يمكننا أن نتقبل أن جميع المفاهيم الرياضية هي مفاهيم عقلية لان الكثيرمن المفاهيم الرياضية لها ما يقابلها في عالم الحس.وتاريخ العلم يدل علىأن الرياضيات وقبل أن تصبح علما عقليا ,قطعت مراحل كلها تجريبية .فالهندسةسبقت الحساب والجبر لأنها اقرب للتجربة

عرض الأطروحة الثانية :أصل المفاهيم الرياضية هي التجربة

يرى التجريبيون من أمثال هيوم ولوك وميل أن المفاهيم والمبادئ الرياضيةمثل جميع معارفنا تنشا من التجربة ولا يمكن التسليم بأفكار فطرية عقليةلان النفس البشرية تولد صفحة بيضاء .فالواقع الحسي أو التجريبي هو المصدراليقيني للتجربة.وان كل معرفة عقلية هي صدى لادراكاتنا الحسية عن هذاالواقع .وفي هذا السياق يقولون (لا يوجد شيء في الذهن ما لم يوجد من قبلفي التجربة )ويقولون ايضا (ان القضايا الرياضية التي هي من الأفكارالمركبة ,ليست سوى مدركات بسيطة هي عبارة عن تعميمات مصدرها التجربة )ويقول دافيد هيوم ( كل ما اعرفه قد استمدته من التجربة) ففكرة الدائرةجاءت من رؤية الإنسان للشمس والقرص جاءت كنتيجة مشاهدة الإنسان للقمر. والاحتمالات جاءت كنتيجة لبعض الألعاب التي كان يمارسها الإنسان الأول .وقد استعان الإنسان عبر التاريخ عند العد بالحصى وبالعيدان وبأصابعاليدين والرجلين وغيرها ,والمفاهيم الرياضية بالنسبة إلى الأطفالوالبدائيين .لا تفارق مجال الإدراك الحسي لديهم ,وان ما يوجد في أذهانهموأذهان غيرهم من معان رياضية ما هي إلا مجرد نسخ جزئية للأشياء المعطاة فيالتجربة الموضوعية.

نقد الأطروحةالثانية:لا يمكننا أن نسلم أن المفاهيم الرياضية هي مفاهيم تجريبية فقط لأننا لايمكننا أن ننكر الأفكار الفطرية التي يولد الإنسان مزود بها.وإذا كانتالمفاهيم الرياضية أصلها حسي محض لاشترك فيها الإنسان مع الحيوان.

التركــــــــــــــــــيب

إن أصل المفاهيم الرياضية يعود إلى الترابط والتلازم الموجود بين التجربةوالعقل فلا وجود لعالم مثالي للمعاني الرياضية في غياب العالم الخارجي ولاوجود للأشياء المحسوسة في غياب الوعي الإنساني .والحقيقة أن المعانيالرياضية لم تنشأ دفعة واحدة ,وان فعل التجريد أوجدته عوامل حسية وأخرىذهنية

الخاتمة: إن تعارض القولين لا يؤدي بالضرورة إلى رفعهما لان كلا منهما صحيح فيسياقه , ويبقى أصل المفاهيم الرياضية هو ذلك التداخل والتكامل الموجود بينالعقل والتجربة .ولهذا يقول العالم الرياضي السويسري غونزيث (في كل بناءتجريدي ,يوجد راسب حدسي يستحيل محوه وإزالته .وليست هناك معرفة تجريبيةخالصة ,ولا معرفة عقلية خالصة.بل كل ما هناك أن أحد الجانبين العقليوالتجريبي قد يطغى على الآخر ,دون أن يلغيه تماما ويقول" هيجل" "كل ما هوعقلي واقعي وكل ما هو واقعي عقلي"

 

 

 

 

هل الرياضيات فطرية في العقل ام مكتسبة بالتجربة ؟

1ـ طرح المشكلة:تختلف الرياضيات عن العلوم الحسية، في كونها تستمد موضوعها من التصورات الذهنية لقضايا مجردة تتعلق بالمقادير الكمية، في حين أن العلوم الأخرى تقوم على وصف الأشياء الواقعية الحسية الموجودة فعلا، وهذا يجعل الرياضيات لا تبحث في موضوعاتها من حيث هي معطيات حسية، بل من حيث هي رموز مجردة مجالها التصور العقلي البحت، فإذا كان مجال البحث الرياضي هو المفاهيم أو المعاني أو الرموز الرياضية، فالتساؤل المطروح: هل هذه المعاني مستوحاة من الواقع الحسي؟ بمعنى آخر: هل الرياضيات مستمدة من التجربة الواقعية؟

2ـ محاولة حل المشكلة :

أـ عرض منطق الأطروحة:يذهب أنصار الاتجاه الحسي أو التجريبي إلى أن التفكير الرياضي كان مرتبطا بالواقع، وأن الحضارات الشرقية القديمة استخدمت طرقا رياضية في مسح الأراضي الزراعية وفي الحساب، فكانت الرياضيات وليدة الملاحظة والتجربة، فالهندسة في مصر القديمة نشأت على صورة فن المساحة. وقد ذهب الفيلسوف " جون لوك " إلى أن التجربة هي المصدر اليقيني لكل أفكارنا ومعارفنا، وأنها هي التي تخط سطورها على العقل الذي هو شبيه بالصفحة البيضاء. كما ذهب الفيلسوف " دافيد هيوم " إلى أن من يولد فاقدا لحاسة لا يمكنه أن يعرف ما يترتب على انطباعات تلك الحاسة المفقودة من أفكار، فالانطباعات المباشرة التي تأتينا من العالم الخارجي هي بمثابة نوافذ للأفكار ومعطيات للعقل. أما الفيلسوف " جون استوارت مل " يرى أن المعاني الرياضية هي مجرد نسخ جزئية للأشياء المعطاة في التجربة، حيث يقول : " إن النقط والخطوط والدوائر التي يحملها كل واحد في ذهنه هي مجرد نسخ من النقط والخطوط والدوائر التي عرفها في التجربة ".

النقد:لكن التصورات التي تربط كلا من الهندسة والحساب بالتطبيقات العملية والحاجات الاجتماعية تختلف اختلافا جذريا عن التصور الجديد للعلم الرياضي الذي أصبح موضوعه معاني ومفاهيم ذهنية تتمتع بالاستقلال التام عن الواقع الحسي.

ب عرض نقيض الأطروحة :يرى المذهب العقلي أن المفاهيم الرياضية نابعة من العقل وموجودة فيه قبليا، وبالتالي فهي مستقلة عن التجربة، فالمكان الهندسي والخط المستقيم ومفاهيم العدد واللانهائي وغيرها كلها معان رياضية عقلية مجردة. ومن أبرز أنصار هذا المذهب الفيلسوف " أفلاطون " حيث أعطى السبق للعقل الذي كان يحيا في عالم المثل، وكان على علم بسائر الحقائق ومنها المفاهيم الرياضية، لكنه عند مفارقته لهذا العالم نسي أفكاره، فكان عليه أن يتذكرها وان يدركها بالذهن وحده. كما ذهب الفيلسوف " ديكارت " إلى أن المعاني الرياضية هي أفكار فطرية أودعها الله فينا منذ البداية، وفي هذا المقام يقول ديكارت : " إن العقل أعدل قسمة بين الناس ". كما أكد الفيلسوف " كانط " على أن أساس الرياضيات يتجلى في القضايا العقلية التي تفرض نفسها على العقل، ولقد ركز على فكرتي الزمان والمكان باعتبارهما مفهومان مجردان عن العالم الحسي.

النقد: لكن الرياضيات بمفاهيمها المختلفة وبكل ما تتمتع به من تجريد، إلا أنها ليست مستقلة عن المعطيات الحسية، فتاريخ العلوم يؤكد على أن الرياضيات قبل أن تصبح علما عقليا قطعت مرحلة كلها تجريبية، فالهندسة كفن قائم بذاته سبقت الحساب والجبر لأنها أقرب إلى التجربة.

ج ـ التركيب:إن تاريخ الرياضيات يبين لنا أن المعاني الرياضية لا يمكن اعتبارها أشياء محسوسة كلها، ولا مفاهيم معقولة خالصة. بل يمكن أن يتكاملا معا لتفسير نشأة المعاني الرياضية، لأن هذه المعاني لم تنشأ دفعة واحدة، بل نمت وتطورت بالتدرج عبر الزمن، فقد بدأت المفاهيم الرياضية حسية تجريبية في أول أمرها ثم تطورت وأصبحت مفاهيم استنتاجية مجردة، بل تعبر عن أعلى مراتب التجريد باستعمال الأعداد الخيالية، المركبة، وفي هذا الصدد يرى جون بياجي أن الرياضيات عبارة عن نشاط إنشائي وبنائي يقوم به العقل ويعطي التجربة صورتها، وخلال ذلك يتهيكل هذا النشاط في حد ذاته، بمعنى أن العقل لا يحتوي على أطر مسبقة، بل فيه قدرة على الإنشاء لهذا قال بياجي: ( إن المعرفة ليس معطى نهائيا جاهزا وأن التجربة ضرورية لعملية التشكيل والتجريد ). كما يقول جورج سارطون: ( إن الرياضيات المشخصة هي أولى العلوم الرياضية نشوءا، فقد كانت في الماضي تجريبية، ثم تجردت من هذه التأثيرات فأصبحت علما عقليا ).

3ـ حل المشكلة :إن الواقع الحسي كان منطلق التفكير الرياضي، فلم يدرك العقل مفاهيم الرياضيات في الأصل إلا ملتبسة بلواحقها المادية، ولكن هذا التفكير تطور بشكل مستمر نحو العقلية الخالصة، إذ انتزع العقل مادته وجردها من لواحقها، حتى جعل منها مفهوما عقليا محضا مستقلا عن الأمور الحسية التي كانت ملابسة له، ولهذا فالرياضيات كعلوم عقلية نظرية قامت في الأصل على أمور مادية تجريبية، ثم تمكن العقل بعد ذلك من تجريدها وانتزاعها من مادتها تدريجيا فأصبحتعقلية خالصة.

Answer 3

مقالة جدلية حول اليقين الرياضي. (جميع الشعب)

مقالة فلسفية حول اليقين الرياضي باك 2022

السؤال: هل الرياضيات مطلقة اليقين؟

مقدمة

 طرح المشكلة )

يعرف الإنسان بتطلعه و فضوله الدائم لبلوغ الحقيقة بمختلف أنواعها و من بينها الرياضيات و التي تعرف على أنها ذلك العلم الذي يهتم بدراسة المقادير القابلة للقياس الكمي و هو نوعين الكم المتصل (الهندسة) و الكم المنفصل (الجبر) و تتميز الرياضيات بدقة و صرامة نتائجها و هذا ما جعلها مثالا للدقة و اليقين الذي تنشده مختلف العلوم إلا أن العصر المعاصر عرف ظهور أنساق رياضية جديدة أدت إلى تعدد نتائج الرياضيات الأمر الذي أحدث جدلا فكريا واسعا بين الفلاسفة و المفكرين و أدى إلى تضارب آرائهم إنقسموا على إثره إلى تيارين متناقضين تيار يرى بأن "اليقين الرياضي مطلق " و تيار يرى بأن "اليقين الرياضي نسبي"

هذا الجدال الواقع بينهم دفعنا إلى طرح الإشكال التالي : هل اليقين الرياضي مطلق أم نسبي ؟ أو بمعنى آخر إلى أي مدى يمكن إعتبار الرياضيات دقيقة النتائج ؟

العرض:( محاولة حل المشكلة )

عرض منطق الأطروحة : "اليقين الرياضي مطلق "

إن الرياضيات علم دقيق يقيني ومصدر دقتها ويقينيتها تقديرها الكمي والحركة المنطقية التي يتبعها الرياضي فيها ولزوم نتائجها عن المقدمات ودقة هذه النتائج وكذا طابعها التجريدي المتصف بالضرورة ولهذا فهي ضالة كل من الفيلسوف لأنه يرى فيها الحقيقة الثابتة وكذا العالم لأنه حول من خلالها سبل البحث العلمي من التعبير الكيفي إلى الكمي ومن التجريب إلى التجريد و يتبنى هذا الموقف كل من " ديكارت سبينوزا بوانكاري " و يبرر هؤلاء موقفهم بالحجج و البراهين الآتية:

أن الرياضيات تعتمد على مجموعة من المبادئ المطلقة و أولها البديهيات و هي مبادئ عقلية لا تحتاج إلى برهان لإثبات صحتها و لا تعرف بالتغير فهي ثابتة منذ الأزل مثل " الكل أكبر من الجزء "" القيمتان المتساويتان لقيمة ثالثة متساويتان فيما بينهما " حيث يقول ديكارت في هذا الشأن " لا أتقبل شيئا على أنه صحيح إلا إذا كان بديهيا و عليه فمهمة الرياضي هي الإضافة و ليس إعادة النظر " و يقول كذلك "البديهية كالشمعة تضيء نفسها وتضيء ما حولها ولا تحتاج إلى من يضيئها" و يقول سبينوزا " البديهية هي معيار الصدق و الكذب "

كما تعتمد الرياضيات على المسلمات و هي بدورها مبادئ ثابتة يتم التسليم بصحتها دون برهان مثل مسلمات إقليدس " مجموع زوايا المثلث 180 " " من نقطة خارج مستقيم لا يمر إلا مواز واحد " و " من نقطتين لا يمر إلا مستقيم واحد "

كما تعتبر التعريفات الرياضية من بين المفاهيم المطلقة و الدليل على مطلقيتها هو أنها لم تتغير منذ أن وضعها الرياضي اليوناني إقليدس و من بينها " المثلث هو شكل هندسي يتكون من ثلاث زوايا و ثلاث أضلاع " " النقطة هي حاصل إلتقاء مستقيمين " "المستقيم هو مجموعة من النقاط على إستقامة واحدة " يقول باسكال " الهندسة هي الوحيدة من العلوم التي تنتج براهين معصومة من الخطأ

وتستمد الرياضيات دقة نتائجها من أساليب البرهنة التي تعتمدها البرهان التحليلي بنوعيه المباشر و الذي نقصد به " ربط القضية المراد إثباتها بقضية صادقة ابسط منها بحيث تكون كل قضية نتيجة لما بعدها" ، و غير المباشر أو البرهان بالتراجع و هو الذي نبطل فيه نقيض القضية المفترض صحتها لإثبات صحة قضيتنا فنحن نكشف عن استحالة نقيض القضية وبطلانه ،وكذلك البرهان التركيبي والذي معناه " الانتقال من قضيتين بسيطتين أو أكثر وصولا إلى نتائج مركبة وجديدة أو هو الانتقال من القضية المراد البرهنة عليها إلى قضية اعقد منها" . و هذا ما جعل منها مثالا لكل العلوم كالفيزياء و الكيمياء و الفلك و الجيولوجيا و غيرها التي لم تستطع بلوغ الدقة و اليقين إلا من خلال ترييض نتائجها لذلك يقول بوانكاري " إن الرياضيات هي اللغة الوحيدة التي يستطيع العلم أن يتكلم بها"

نقد و مناقشة : لا يمكن إنكار دقة النتائج التي تتوصل إليها الرياضيات إلا أن هذا التيار بالغ في تمجيده لها فهي ليست دقيقة بصفة مطلقة لأنها كثيرا ما تعتمد على التقريب في نتائجها كما ان هذه المبادئ التي تعتمدها لا يرهان على صحتها و هذا ما أثبتته الرياضيات المعاصرة التي أدت إلى إسقاط العديد من البديهيات والمسلمات الإقليدية التي كان يعتقد أنها واحدة و ثابتة

عرض نقيض الأطروحة : " اليقين الرياضي نسبي "

إن الرياضيات علم نسبي تقريبي و النتائج التي تتوصل إليها نسبية متغيرة فالمبادئ الرياضية حينما تنزل إلى العالم الحسي تفقد قيمتها فتتحول إلى حقائق نسبية تقريبية احتمالية وبعيدة عن الصدق و هذا يجعلنا نقول أن لليقين الرياضي حدود وانه ليس يقينا مطلقا و يتبنى هذا الموقف كل من : راسل-بولغان- بلانشي و يبرر هؤلاء موقفهم بالحجج و البراهين الآتية:

إن الرياضيات نسبية و ذلك من خلال*تقريبية النتائج فيها ففي مجال الجبر كثيرا ما تلجأ الرياضيات إلى التقريب و التدوير في نتائجها مثلا القيمة الحقيقية للعدد 3.14 الذي هو حاصل 22÷7 لكنه في الحقيقة ليس حاصل 22/7 لأنه عند ضرب 3.14 ×7 لا نحصل على العدد 22 وفي هذا يقول اينشتاين"أن قضايا الرياضيات بقدر ما ترتبط بالواقع بقدر ما تكون غير يقينية" و يقول راسل " إن الرياضيات بهذه الصفة أصبحت علما لا يعرف عما يبحث و هل ما يقال فيه صحيح "

لقد أدى ظهور الهندسات اللاإقليدية إلى زعزعة اليقن الرياضي فقد ظهرت هندسات جديدة مخالفة لهندسة إقليدس التي كانت قائمة على أساس إستواء المكان الهندسي مما أدى إلى سقوط العديد من المسلمات الإقليدية "مسلمة التوازي" -من نقطة خارج مستقيم لا يمكن إلا رسم موازي واحد-،فظهرت هندسة ريمان التي إنطلقت من أن المكان الهندسي محدب" كروي " و منه –لا يمكن رسم ولا موازي من نقطة خارج مستقيم – و مجموع زويا المثلث يصبح >180 درجة ،كما ظهرت هندسة لوباتشوفسكي التي إنطلقت من ان المكان الهندسي مقعر"نصف كروي" ومنه – يمكن رسم ما لا نهاية من المتوازيات من نقطة واحدة خارج مستقيم-و يصبح مجموع زوايا المثلث <180درجة و في هذا يقول بولغان " إن كثرة الأنظمة في الهندسة لدليل على أن الرياضيات ليست فيها حقائق مطلقة " وهذا ما جعل الرياضيين و المناطقة المحدثين ،يعتبرون النسق الرياضي مجرد نسق "فرضي إستنباطي "أي يقوم علي أسس إفتراضية ،

و قد أدى هذا التطور الذي عرفته الرياضيات إلى ،ظهور المنهج الأكسيوماتيكي القائم على الافتراض والاستنتاج ،" فالرياضيون أنفسهم ،لم تعد تهمهم فكرة البداهة أو بساطة ووضوح المبادئ ،بل حصروا إهتمامهم في رفع كل تناقض قد يطرأ بين المنطلقات الافتراضية والنتائج المترتبة عنها يقول بلانشي " لم تعد الرياضيات اليوم تتحدث عن المنطلقات الرياضية بإعتبارها مبادئ بديهية لأنها في الحقيقة مجرد إفتراضات نابعة لإختبار العقل الحر "

نقد و مناقشة : حقيقة أن تعدد الانساق أدى إلى تعدد نتائج الرياضيات إلا أن هذا التعدد في الأنساق لا يعني النسبية فكل النتائج تبقى صحيحة ودقيقة إذا وضعت في نسقها الخاص لذلك يقول بوانكاري " إن كل هندسة محقة فيما تقوله إذا بقيت وفية لمبادئها " فالرياضيات تبقى أدق علم توصل إليه العقل البشري بدليل سعي كل العلوم إلى التعبير عن نتائجها بلغة الرياضيات

التركيب :

 يمكن القول أن الرياضيات مطلقة و نسبية فهي مطلقة من حيث مبادئها و منطلقاتها و أساليب البرهنة التي تعتمدها و نسبية من حيث نتائجها لأن مبادئها بقيت ثابتة دون تغير اما نتائجها فإن أغلبها قائم على التقريب خاصة مع تعدد الأنساق في الهندسة إلا أن هذا التعدد لا ينقص من قيمة اليقين الرياضي الذي يبقى من أدق ما إستطاع أن يصل إليه العقل البشري

خاتمة : ( حل المشكلة)

يلزم التأكيد مما سبق ذكره أن الاختلاف في نظرة الفلاسفة والمفكرين حول أزمة اليقين الرياضي ، وتضارب آرائهم ومواقفهم حول تلك المشكلة ، لا ينقص من قيمة أبحاثهم، ولا يسيء إلى البحث الفلسفي في هذا المجال، بقدر ما يزيده قيمة إلى قيمته، ذلك أن هذا الاختلاف يعبر بالدرجة الأولى على مدى حيوية الفكر البشري ومدى قابلته للتنوع والتطور, و عليه نستنتج ان الرياضيات و إن كانت نسبية في بعض إستنتاجاتها إلا أنها تبقى المثال الأعلى و الأول للمعقولية و الدقة و الصرامة البرهانية و هذا ما جعل منها شعارا لمختلف العلوم التي يثبت تاريخها انها لم تبلغ الدقة و اليقين إلا بفضل لغة الرياضيات و هذا ما نلتمسه في قول الفيلسوف الفرنسي برغسون " العلم الحديث وليد الرياضيات "

Answer 4

أقوال الفلاسفة عن اليقين الرياضي